Question

如图，设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为24，把它关于AC折起来，AB折过去后，交DC于P，设AB=x，
（1）用x来表示△ADP的面积
（2）求△ADP面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）在三角形ADP中利用勾股定理可求出DP，从而可得△ADP的面积的表达式，注意定义域；
（2）由基本不等式可直接求出△ADP的最大面积及相应的x的值，注意等号成立的条件．

解答：解：（1）∵AB=x，∴AD=12-x，
∵∠PCA=∠BAC=∠PAC，
∴PC=PA，DP=PB'，AP=AB'-PB'=AB-DP=x-DP，
由勾股定理得（12-x）²+DP²=（x-DP）²，得DP=12-

72

x

，
∴△ADP的面积S=

1

2

AD•DP=

1

2

(12-x)•(12-

72

x

)=108-(6x+

432

x

)，
即 S=108-(6x+

432

x

)（6＜x＜12）；
（2）由（1）知S=108-(6x+

432

x

)，
∵x＞0，∴6x+

432

x

≥2

6x• 432 x

=72

2

，
∴S=108-(6x+

432

x

)≤108-72

2

．
当且仅当6x=

432

x

时，即当x=6

2

时，S有最大值108-72

2

．

点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，基本不等式的应用，其中根据已知条件求出△ADP的面积的表达式，将问题转化为利用基本不等式求最值问题，是解答本题的关键．属于中档题．