Question

8．已知函数f（x）=（ax-1）e^x，a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当m＞n＞0时，证明：meⁿ+n＜ne^m+m．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的定义域，以及导数，讨论a=0，a＞0，a＜0，判断导数符号，解不等式即可得到所求单调区间；
（Ⅱ）运用分析法证明．要证meⁿ+n＜ne^m+m，即证meⁿ-m＜ne^m-n，也就是证$\frac{{e}^{n}-1}{n}$＜$\frac{{e}^{m}-1}{m}$，令g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，x＞0，求出导数，再令h（x）=xe^x-e^x+1，求出导数，判断单调性，即可得证．

解答 （Ⅰ）解：f（x）的定义域为R，且f′（x）=（ax+a-1）e^x．
当a=0时，f′（x）=-e^x＜0，此时f（x）的单调递减区间为（-∞，+∞）；
当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞-$\frac{a-1}{a}$，由f′（x）＜0，得x＜-$\frac{a-1}{a}$．
此时f（x）的单调减区间为（-∞，-$\frac{a-1}{a}$），单调增区间为（$-\frac{a-1}{a}$，+∞）；
当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＜-$\frac{a-1}{a}$，由f′（x）＜0，得x＞-$\frac{a-1}{a}$．
此时f（x）的单调减区间为（$-\frac{a-1}{a}$，+∞），单调增区间为（-∞，-$\frac{a-1}{a}$）．
（Ⅱ）证明：要证meⁿ+n＜ne^m+m，即证meⁿ-m＜ne^m-n，
也就是证m（eⁿ-1）＜n（e^m-1）．
也就是证$\frac{{e}^{n}-1}{n}$＜$\frac{{e}^{m}-1}{m}$，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，x＞0，g′（x）=$\frac{x{e}^{x}-{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$，
再令h（x）=xe^x-e^x+1，h′（x）=e^x+xe^x-e^x=xe^x＞0，
可得h（x）在x＞0递增，即有h（x）＞h（0）=0，
则g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，
由m＞n＞0，可得$\frac{{e}^{n}-1}{n}$＜$\frac{{e}^{m}-1}{m}$，
故原不等式成立．

点评 本题考查函数的单调性、导数及其应用、不等式的证明等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力及抽象概括能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想，属难题．