Question

已知抛物线y²=4x的焦点是F，定点A(

1

2

，1)，P是抛物线上的动点，则|PA|+|PF|的最小值是

 

．

Answer 1

分析：设点P在抛物线准线上的射影为Q，根据抛物线的定义可知|PF|=|PQ|，进而把问题转化为求|PA|+|PQ|的最小值．由平面几何知识，可知当P、Q、A三点共线时|PA|+|PQ|有最小值，由此即可算出|PA|+|PF|的最小值．

解答：解：由题意，抛物线y²=4x的准线为x=-1，焦点是F（1，0）．
设P、A在抛物线的准线上的射影分别为Q、B，连结PQ、AB．
根据抛物线的定义，可得|PF|=|PQ|，
∵|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|，
∴当|PA|+|PQ|取得最小值时，|PA|+|PF|有最小值．
由平面几何知识，可得当P、Q、A三点共线时，即点P、Q在线段AB上时，
|PA|+|PQ|最小，最小值为

1

2

-（-1）=

3

2

．
因此，|PA|+|PF|的最小值是

3

2

．
故答案为：

3

2

点评：本题给出抛物线的方程，求抛物线上的动点P与A、F两点距离之和的最小值．着重考查了抛物线的定义、标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．