Question

已知点P（2，-3）在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，且椭圆一个顶点坐标为（0，2

3

）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点E（0，-4）的直线l交椭圆于点R、T，且满足

OR

•

OT

=8，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：b=2

3

，再点P（2，-3）代入椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)即可得到a．
（2）当直线l的斜率不存在时，不符合题意．可知直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为：y=kx-4．与椭圆的方程联立可得到△＞0及根与系数的关系，再利用设R（x₁，y₁），T（x₂，y₂），利用

OR

•

OT

=8?x₁x₂+y₁y₂=8，解得k即可．

解答：解：（1）由题意可得：b=2

3

，
∵点P（2，-3）在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，
∴

22

a2

+

(-3)2

(2 3 )2

=1，
解得a=4，
∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）当直线l的斜率不存在时，不符合题意．
可知直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为：y=kx-4．
由

y=kx-4 x2 16 + y2 12 =1

可得：（3+4k²）x²-32kx+16=0，
由△=（-32k）²-4（3+4k²）×16＞0，解得k²＞

1

4

，
设R（x₁，y₁），T（x₂，y₂），
则x1+x2=

32k

3+4k2

，x1x2=

16

3+4k2

．
∴y₁y₂=（kx₁-4）（kx₂-4）=k²x₁x₂-4k（x₁+x₂）+16，
∵

OR

•

OT

=8，∴x₁x₂+y₁y₂=8，
∴(1+k2)×

16

3+4k2

-4k×

32k

3+4k2

+16=8，
化为k²=

5

2

＞

1

4

，解得k=±

10

2

，
∴直线l的方程为：y=±

10

2

x-4．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．