Question

已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为

4

3

π

．

Answer 1

分析：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是

2

的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论．

解答：解：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是

2

的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为2

3

，半径为

3

∴三棱锥的外接球体积为

4

3

π×(

3

)3=4

3

π
故答案为：4

3

π

点评：本题考查三视图，几何体的外接球的体积，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．