Question

（已知数列{a_n}中，a₁=5且a_n=2a_n-1+2ⁿ-l（n≥2且n∈N^*．）
（I）证明：数列{

an-1

2n

}为等差数列：
（II）求数列{a_n-1}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）设b_n=

an-1

2n

，可求得b₁，再作差证明b_n+1-b_n为定值即可；
（II）利用错位相减法即可求得数列{a_n-1}的前n项和S_n．

解答：解：（I）设b_n=

an-1

2n

，则b₁=

5-1

2

=2…2分，
b_n+1-b_n=

an+1-1

2n+1

-

an-1

2n

=

1

2n+1

[（2ⁿ⁺¹-1）+1]=1…4分
∴数列{

an-1

2n

}为首项是2，公差是1的等差数列…5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

an-1

2n

=

a1-1

2

+（n-1）×1，
∴a_n-1=（n+1）•2ⁿ…7分
∵S_n=2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ①
∴2S_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹②…9分
①-②，得：-S_n=4+（2²+2³+…+2ⁿ）-（n+1）•2ⁿ⁺¹
∴S_n=-4-4（2^n-1-1）+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹…12分

点评：本题考查数列的求和，考查等差关系的确定，着重考查错位相减法的应用，考查推理证明与运算能力，属于中档题．