Question

4．若命题“存在实数x₀∈[1，2]，使得e^x+x²+3-m＜0”是假命题，则实数m的取值范围为（-∞，e+4]．

Answer 1

分析 根据特称命题是假命题，则特称命题的否定是全称命题为真命题，进行求解即可．

解答 解：∵命题“存在实数x₀∈[1，2]，使得e^x+x²+3-m＜0”是假命题，
即命题“任意实数x∈[1，2]，使得e^x+x²+3-m≥0”是真命题，
即e^x+x²+3≥m，
设f（x）=e^x+x²+3，
则函数f（x）在[1，2]上为增函数，
则f（x）的最小值为f（1）=e+1+3=e+4，
故m≤e+4，
故答案为：（-∞，e+4]．

点评 本题主要考查命题真假的应用，根据特称命题为假命题，转化为命题的否定是真命题，利用参数分离法进行求解是解决本题的关键．