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15.如图,三棱柱ADE-BCF中,四边形ABCD为平行四边形,DE⊥平面ABCD,AD=DE=1,AB=2,∠BCD=60°.
(I)求证:BD⊥AE;
(Ⅱ)若GE=$\frac{1}{2}$DE,求直线CG与平面BDF所成角的正弦值.

分析 (I)据线面垂直的判定定理证明BD⊥平面ADE即可证明BD⊥AE;
(Ⅱ)建立空间坐标系,求出平面BDF的法向量,利用向量法结合线面角的关系进行求解即可.

解答 解:(I)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,AD=1,AB=2,∠BCD=60°.
∴∠ADB=∠DBC=90°,且BD=$\sqrt{3}$,
则BD⊥AD,
∵DE⊥平面ABCD,DB?平面ABCD,
∴DE⊥BD,
∵AD∩DE=D,
∴BD⊥平面ADE,
∵AE?平面ADE,
∴BD⊥AE;
(Ⅱ)若GE=$\frac{1}{2}$DE,即G是DE的中点,
∵DE⊥平面ABCD,BD⊥AD,
∴建立以D为坐标原点,DA,DB,DE分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:
则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,$\sqrt{3}$,0),E(0,0,1),G(0,0,$\frac{1}{2}$),
则$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AB}$=(-1,$\sqrt{3}$,0),则C(-1,$\sqrt{3}$,0),
设F(x,y,z),则(x,y,z-1)=(-1,$\sqrt{3}$,0),
即x=-1,y=$\sqrt{3}$,z=1,即F(-1,$\sqrt{3}$,1),
$\overrightarrow{DB}$=(0,$\sqrt{3}$,0),$\overrightarrow{DF}$=(-1,$\sqrt{3}$,1),
设平面BDF的法向量为$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{DB}$=$\sqrt{3}$y=0,$\overrightarrow{m}$•DF→=-x+$\sqrt{3}$y+z=0,
则y=0,令x=1,则z=1,即$\overrightarrow{m}$=(1,0,1),
$\overrightarrow{CG}$=(1,-$\sqrt{3}$,$\frac{1}{2}$),
设直线CG与平面BDF所成的角为θ,
则sinθ=|cos<$\overrightarrow{CG}$,$\overrightarrow{m}$>|=|$\frac{1+\frac{1}{2}}{\sqrt{2}•\sqrt{1+3+\frac{1}{4}}}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{2}•\frac{\sqrt{17}}{2}}$=$\frac{3\sqrt{34}}{34}$.
即|直线CG与平面BDF所成角的正弦值是$\frac{3\sqrt{34}}{34}$.

点评 本题主要考查空间直线垂直的判断以及线面角的求解,建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法是解决空间角常用的方法.

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