Question

11．已知直线l₁：2x+y+a=0，l₂：ax-2y+1=0，l₃：x+y+2=0．
（1）当a=0，求这三条直线所围成的封闭图形的面积．
（2）若这三条直线能构成△ABC，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，求出三条直线的交点坐标，进而求出三角形的底边长和高，代入三角形面积公式，可得答案．
（2）若这三条直线能构成△ABC，则三条直线互不平行，且不过同一点，进而得到实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=0时，
直线l₁：2x+y=0，l₂：-2y+1=0，l₃：x+y+2=0．
直线l₂与直线l₁交于A（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）点，与直线l₃交于B（-$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$）点，此时AB=（-$\frac{1}{4}$+$\frac{5}{2}$）=$\frac{9}{4}$，
直线l₃与直线l₁交于C（2，-4）点，
由C到直线l₂的距离d=$\frac{1}{2}+4$=$\frac{9}{2}$，
故这三条直线所围成的封闭图形的面积S=$\frac{1}{2}×\frac{9}{4}×\frac{9}{2}$=$\frac{81}{16}$；
（2）若这三条直线能构成△ABC，则三条直线互不平行，且不过同一点，
若直线l₂与直线l₁平行，则a=-4，
若直线l₂与直线l₃平行，则a=-2，
若直线l₃与直线l₁不平行，交点为：P（2-a，a-4），
若直线l₂也过P点，则a（2-a）-2（a-4）+1=0，解得a=±3，
综上所述，当a∉{-4，-3，-2，3}时，这三条直线能构成△ABC．

点评 本题考查的知识点是直线的交点坐标，三角形面积公式，直线围成三角形的条件，难度不大，属于基础题．