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已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx,g(x)=xe1-x.(a∈R,e=2.71828…)
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间(0,
1
2
)
无零点,求a的最小值;
(Ⅲ)若对任意给定的x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2)使得f(xi)=g(x0)成立,求a的取值范围.
考点:导数在最大值、最小值问题中的应用
专题:导数的综合应用
分析:(Ⅰ)把a=1代入函数解析式,求出函数的导函数,由导函数大于0求得原函数的增区间,由导函数小于0求得原函数的减区间;
(Ⅱ)函数f(x)<0在区间(0,
1
2
)
上不恒成立,把函数f(x)在区间(0,
1
2
)
上无零点转化为对任意的x∈(0,
1
2
),f(x)>0
恒成立,即对x∈(0,
1
2
),a>2-
2lnx
x-1
恒成立.然后利用构造函数且两次求导得到使函数f(x)在区间(0,
1
2
)
上无零点的a的最小值;
(Ⅲ)利用导数求出函数g(x)在(0,e]上的值域,由题意可知a=2时f(x)在(0,e]上为单调函数不合题意;当a≠2时求出使f(x)在(0,e]上有极小值的a的范围,然后由对任意给定的x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2)使得f(xi)=g(x0)成立得到a所满足的条件
a-2ln
2
2-a
≤0②
(2-a)(e-1)-2≥1③
,求解不等式组结合使f(x)有最小值的a的范围得答案.
解答: 解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=x-1-2lnx,则f(x)=1-
2
x

由f'(x)>0,得x>2;
由f'(x)<0,得0<x<2.
故f(x)的单调减区间为(0,2],单调增区间为[2,+∞);
(Ⅱ)∵f(x)<0在区间(0,
1
2
)
上恒成立不可能,
故要使函数f(x)在区间(0,
1
2
)
上无零点,
只要对任意的x∈(0,
1
2
),f(x)>0
恒成立即可,
即对x∈(0,
1
2
),a>2-
2lnx
x-1
恒成立.
令t(x)=2-
2lnx
x-1
,x∈(0,
1
2
)

t(x)=-
2
x
(x-1)-2lnx
(x-1)2
=
2lnx+
2
x
-2
(x-1)2

再令m(x)=2lnx+
2
x
-2,x∈(0,
1
2
)

m(x)=-
2
x2
+
2
x
=-
2(1-x)
x2
<0

故m(x)在(0,
1
2
)
上为减函数,于是m(x)>m(
1
2
)=2-2ln2>0,
从而,t(x)>0,于是t(x)在(0,
1
2
)
上为增函数,
∴t(x)<t(
1
2
)=2-4ln2,
故要使a>2-
2lnx
x-1
恒成立,只要a∈[2-4ln2,+∞).
综上,若函数f(x)在区间(0,
1
2
)
上无零点,则a的最小值为2-4ln2;
(Ⅲ)∵g(x)=xe1-x
∴g'(x)=e1-x-xe1-x=(1-x)e1-x
当x∈(0,1)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;
当x∈(1,e)时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.
又∵g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e•e1-e>0,
∴函数g(x)在(0,e]上的值域为(0,1].
当a=2时,f(x)=-2lnx为单调函数,不合题意;
当a≠2时,f(x)=2-a-
2
x
=
(2-a)x-2
x
=
(2-a)(x-
2
2-a
)
x
,x∈(0,e].
当x=
2
2-a
时,f′(x)=0.
由题意得,f(x)在(0,e]上不单调,
0<
2
2-a
<e
,即a<2-
2
e
  ①.
此时,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:
x(0,
2
2-a
)
2
2-a
(
2
2-a
,e]
f'(x)-0+
f(x)最小值
又∵当x→0时,f(x)→+∞,
f(
2
2-a
)=a-2ln
2
2-a
,f(e)=(2-a)(e-1)-2

∴对任意给定的x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2)使得f(xi)=g(x0)成立,
当且仅当a满足下列条件:
f(
2
2-a
)≤0
f(e)≥1
,即
a-2ln
2
2-a
≤0②
(2-a)(e-1)-2≥1③

h(a)=a-2ln
2
2-a
,a∈(-∞,2-
2
e
)

h(a)=1-
2
2-a
=
a
a-2

令h′(a)=0,得a=0或a=2.
故当a∈(-∞,0)时,h′(a)>0,函数h(a)单调递增;
当a∈(0,2-
2
e
)时,h′(a)<0,函数h(a)单调递减.
∴对任意a∈(-∞,2-
2
e
)
,有h(a)≤h(0),
即②对任意a∈(-∞,2-
2
e
)
恒成立.
由③式解得:a≤2-
3
e-1
  ④.
综合①④可知,当a∈(-∞,2-
3
e-1
]
时,对任意给定的x0∈(0,e],
在(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2),
使f(xi)=g(x0)成立.
点评:本题考查了导数在求函数最值中的应用,考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法,解答此题要求学生要有较强的逻辑思维能力和运算能力,属难度较大的题目,是压轴题.
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其中正确的有
 
(填相应的序号).

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1
2
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