Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）图象的相邻两对称轴间的距离为

π

2

，若将函数f（x）的图象向左平移

π

6

个单位后图象关于y轴对称．
（Ⅰ）求使f（x）≥

1

2

成立的x的取值范围；
（Ⅱ）设g(x)=-g′(

π

3

)sin(

1

2

ωx)+

3

cos(

1

2

ωx)，其中g'（x）是g（x）的导函数，若g（x）=

2

7

，且

π

2

＜x＜

2π

3

，求cosx的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,导数的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由周期性求得ω，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得f（x）的解析式，从而求得使f（x）≥

1

2

成立的x的取值范围．
（Ⅱ）由条件求得g（x）的解析式，再由g（x）=

2

7

，求得sin（x+

π

3

）的值，可得cos（x+

π

3

）的值，再由cosx=cos[（x+

π

3

）-

π

3

]，利用两角差的余弦公式求得结果．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜

π

2

)图象的相邻两对称轴间的距离

π

2

，
∴函数的周期T=π，ω=

2π

π

=2，∴f（x）=sin（2x+φ），
将f（x）的图象向左平移

π

6

个单位后得到的函数为y=sin(2x+

π

3

+φ)，
∵y=sin(2x+

π

3

+φ)图象关于y轴对称，∴

π

3

+φ=kπ+

π

2

(k∈Z)，又|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，即f(x)=sin(2x+

π

6

)．
由f(x)≥

1

2

得：sin(2x+

π

6

)≥

1

2

，即2kπ+

π

6

≤2x+

π

6

≤2kπ+

5π

6

(k∈Z)，
∴使f(x)≥

1

2

的x的取值范围是[kπ，kπ+

π

3

](k∈Z)．
（Ⅱ）∵g(x)=-g′(

π

3

)sin(

1

2

ωx)+

3

cos(

1

2

ωx)，∴g′(x)=-g′(

π

3

)cosx-

3

sinx，
令x=

π

3

得g′(

π

3

)=-g′(

π

3

)cos

π

3

-

3

sin

π

3

，
解得g′(

π

3

)=-1，所以g(x)=sinx+

3

cosx=2sin(x+

π

3

)．
∵g(x)=

2

7

，∴sin(x+

π

3

)=

1

7

，∵

π

2

＜x＜

2π

3

，∴

5π

6

＜x+

π

3

＜π，∴cos(x+

π

3

)=-

4 3

7

，
∴cosx=cos(x+

π

3

-

π

3

)=-

4 3

7

×

1

2

+

1

7

×

3

2

=-

3 3

14

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，两角差的余弦公式，属于基础题．