Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

b2

=1(0＜b＜2)的离心率为

3

2

．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若直线x-y+m=0与已知椭圆交于A，B两点，P（0，1），且|PA|=|PB|，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率，建立方程，求出b的值，即可得到椭圆的方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理确定AB的中点坐标，利用R（0，1），且|RA|=|RB|，可得斜率之间的关系，从而可得结论．

解答：解：（1）由题意，

4-b2

4

=

3

4

，∴b=1，
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
直线x-y+m=0与已知椭圆方程联立，消去y可得

5

4

x2+2mx+m2-1=0
∴x₁+x₂=-

8m

5

∴y₁+y₂=x₁+x₂+2m=

2m

5

∴AB的中点坐标为（-

4m

5

，

m

5

）
∵R（0，1），且|RA|=|RB|，
∴

m 5 -1

- 4 5 m

×1=-1
∴m=-

5

3

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．