Question

6．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），圆F：（x-c）²+y²=c²，直线l与双曲线C的一条渐近线垂直且在x轴上的截距为$\frac{2}{3}$a，若圆F被直线l所截得的弦长为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$c，则双曲线的离心率为2．

Answer 1

分析 设直线l的方程为y=$\frac{a}{b}$（x-$\frac{2}{3}$a），利用圆F被直线l所截得的弦长为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$c，可得圆心F到直线l的距离为$\sqrt{{c}^{2}-（\frac{2\sqrt{2}}{3}c）^{2}}$=$\frac{c}{3}$，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：设直线l的方程为y=$\frac{a}{b}$（x-$\frac{2}{3}$a），即ax-by-$\frac{2}{3}{a}^{2}$=0．
∵圆F被直线l所截得的弦长为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$c，
∴圆心F到直线l的距离为$\sqrt{{c}^{2}-（\frac{2\sqrt{2}}{3}c）^{2}}$=$\frac{c}{3}$，
∴$\frac{|ac-\frac{2}{3}{a}^{2}|}{c}$=$\frac{c}{3}$，∴（c-a）（c-2a）=0，
∴c=2a，∴e=2，
故答案为2．

点评 本题主要考查双曲线的方程和应用，考查双曲线的离心率，属于中档题．