Question

已知平面上一定点C（-1，0）和一直线l：x=-4，P（x，y）为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(

PQ

+2

PC

)•(

PQ

-2

PC

)=0．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）点O是坐标原点，过点C的直线与点P的轨迹交于A，B两点，求

OA

•

OB

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），由题意可得Q（-4，y），又C（-1，0），结合(

PQ

+2

PC

)•(

PQ

-2

PC

)=0即可求得点P的轨迹方程；
（2）设过点C的直线斜率存在时的方程为y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由

y=k(x+1) 3x2+4y2=12

可得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，利用韦达定理，

OA

•

OB

可化为：-

5

4

-

33

4(3+4k2)

，从而可求其取值范围；当过点C的直线斜率不存在时可解得A、B两点的坐标从而可补充前者所求的

OA

•

OB

的取值范围．

解答：解：（1）设P（x，y），则由已知得Q（-4，y），又C（-1，0），
∴

PQ

=（-4-x，0），

PC

=（-1-x，-y），
∵(

PQ

+2

PC

)•(

PQ

-2

PC

)=0．
∴（-6-3x，-2y）•（-2+x，2y）=0，
故

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设过点C的直线斜率存在时的方程为y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则由

y=k(x+1) 3x2+4y2=12

⇒（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
∴x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
y1y2=k2(x1x2+x1+x2+1)=-

9k2

3+4k2

，
令u=

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=-

5k2+12

3+4k2

=-

5

4

-

33

4(3+4k2)

∵k²≥0，
∴-

11

4

≤-

33

4(3+4k2)

＜0
∴u∈[-4，-

5

4

)
当过点C的直线斜率不存在时，其方程为x=-1，解得A(-1，-

3

2

)，B(-1，

3

2

)
此时u=

OA

•

OB

=-

5

4

，
所以

OA

•

OB

的范围是[-4，-

5

4

]

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查向量在几何中的应用，突出方程思想，转化思想的考查与运用，属于难题．