Question

5．过点（0，2）且与抛物线y²=4x只有一个公共点的直线有（　　）

• A． 1条
• B． 2条
• C． 3条
• D． 无数条

Answer 1

分析 作出图形并加以观察，可得过点（0，2）与x轴平行的直线符合题意，另外还有抛物线的两条切线也符合题意，即存在3条直线满足过点（0，2）且与抛物线y²=4x只有一个公共点．再由点的坐标与抛物线的方程，结合直线的方程加以计算可得此3条直线的方程，从而得到答案．

解答 解：根据题意，可得
①当直线过点A（0，2）且与x轴平行时，方程为y=2，
与抛物线y²=4x只有一个公共点，坐标为（1，2）；
②当直线斜率不存在时，与抛物线y²=4x相切于原点，符合题意；
③当直线斜率存在时，设切线AB的方程为y=kx+2，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{y}^{2}=4x\end{array}\right.$消去y，得k²x²+（4k-4）x+4=0，
△=（4k-4）²-16k²=0，解得k=$\frac{1}{2}$，切线方程为y=$\frac{1}{2}$x+2．
综上所述，存在三条直线：y=2、x=0和y=2x+2满足过点（0，2）且与抛物线y²=4x只有一个公共点．
故选：C．

点评 本题给出抛物线和定点，求经过定点与抛物线只有一个公共点的直线的条数．着重考查了抛物线的标准方程、直线的方程和直线与抛物线的关系等知识，属于中档题．