Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

cosA

cosB

=

b

a

，且C=

2π

3

．
（Ⅰ）求角A，B的大小；
（Ⅱ）设函数f（x）=sin（2x+A）-sin²x+cos²x，求函数f（x）的最小正周期及最小值．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得sin2A=sin2B，有A=B，由已知角C=

2π

3

，即可求出A，B的大小；
（Ⅱ）化简函数解析式可得f（x）=

3

sin（2x+

π

3

），即可求函数f（x）的最小正周期及最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

cosA

cosB

=

b

a

，由正弦定理得

cosA

cosB

=

sinB

sinA

，
即sin2A=sin2B，
∴A=B或A+B=

π

2

（舍去），
又∵C=

2π

3

，
∴A=B=

π

6

．
（Ⅱ）f（x）=sin（2x+A）-sin²x+cos²x=sin（2x+

π

6

）+cos2x
=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

+cos2x
=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x=

3

sin（2x+

π

3

），
∴最小正周期T=

2π

|ω|

=π，最小值为-

3

．

点评：本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数的图象与性质，属于基础题．