Question

【题目】已知函数f（x）= ，a为常数且a＞0．
（1）f（x）的图象关于直线x= 对称；
（2）若x0满足f（f（x0））=x0 ， 但f（x0）≠x0 ， 则x0称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1 ， x2 ， 试确定a的取值范围；
（3）对于（2）中的x1 ， x2 ， 和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1 ， f（f（x1））），B（x2 ， f（f（x2））），C（x3 ， 0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ = =a（1﹣2|x|）， =a（1﹣2|x|），

∴ ，∴f（x）的图象关于直线x= 对称

（2）解：当 时，有f（f（x））= ．

∴f（f（x））=x只有一个解x=0又f（0）=0，故0不是二阶周期点．

当 时，有f（f（x））= ．

∴f（f（x））=x有解集，{x|x }，故此集合中的所有点都不是二阶周期点．

当 时，有f（f（x））= ，

∴f（f（x））=x有四个解：0， ， ， ．

由f（0）=0， ， ， ．

故只有 ， 是f（x）的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为

（3）解：由（2）得 ， ．

∵x2为函数f（x）的最大值点，∴ ，或 ．

当 时，S（a）= | ﹣ |= ．

求导得：S′（a）= ．

∴当 时，S（a）单调递增，当 时，S（a）单调递减．

当 时，S（a）= ，求导得 ．

∵ ，从而有 ．

∴当 时，S（a）单调递增

【解析】（1）只要证明 成立即可；（2）对a分类讨论，利用二阶周期点的定义即可得出；（3）由（2）得出x3 ， 得出三角形的面积，利用导数即可得出其单调性．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的值和利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．