分析 (Ⅰ)利用x=ρcosθ,y=ρsinθ写出C的极坐标方程,并求l与C的交点M,N的极坐标;
(Ⅱ)设P点坐标为($\sqrt{3}$cosθ,sinθ),则P到直线y=x的距离d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-sinθ|}{\sqrt{2}}$,利用三角形的面积公式,可得结论.
解答 解:(Ⅰ)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ,(2分)
直线l的直角坐标方程为y=x,
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{{x}^{2}-2x+{y}^{2}=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$,(4分)
所以点M,N的极坐标分别为(0,0),($\sqrt{2}$,$\frac{π}{4}$).(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)易得|MN|=$\sqrt{2}$ (6分)
因为P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1上的点,设P点坐标为($\sqrt{3}$cosθ,sinθ),(7分)
则P到直线y=x的距离d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-sinθ|}{\sqrt{2}}$,(8分)
所以S△PMN=$\frac{1}{2}|MN|d$=$\frac{|2cos(θ+\frac{π}{6})|}{2}$≤1,(9分)
当θ=kπ-$\frac{π}{6}$,k∈Z时,S△PMN取得最大值1.(10分)
点评 本小题考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的相互转化,考查化归与转化思想,数形结合思想.
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