Question

已知椭圆C的左右焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），离心率

2

2

，直线y=x-1与椭圆C交于不同的两点A，B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求弦AB的长度．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆C的方程，利用已知条件列出

c=2 e= c a = 2 2

，求出a，c然后求解b，得到椭圆方程；
（2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式直接求弦AB的长度．

解答：（本小题满分13分）
解：（1）依题意可设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)…（1分）
则

c=2 e= c a = 2 2

，解得

a=2 2 c=2

…（3分）
∴b²=a²-c²=8-4=4…（5分）
∴椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1…（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）…（7分）
联立方程

x2 8 + y2 4 =1 y=x-1

，消去y，并整理得：3x²-4x-6=0…（9分）
∴

x1+x2= 4 3 x1•x2=-2

…（10分）

∴|AB|= 1+12 |x2-x1|= 2[(x1+x2)2-4x1x2]  = 2[( 4 3 )2-4×(-2)] = 4 11 3

…（12分）
∴|AB|=

4 11

3

…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，弦长公式的应用，考查计算能力．