Question

5．如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD．在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设BP=t．
（I）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值；
（Ⅱ）设探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S（平方百米），求S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由BP=t，得CP=1-t，0≤t≤1，设∠PAB=θ，则∠DAQ=45°-θ，分别求出CP，CQ，PQ即可得到求出周长l=2，问题得以解决；
（Ⅱ）根据S=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△ADQ得到S=2-（$\frac{t+1}{2}$+$\frac{1}{t+1}$），根据基本不等式的性质即可求出S的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由BP=t，得CP=1-t，0≤t≤1，
设∠PAB=θ，
则∠DAQ=45°-θ，
DQ=tan（45°-θ）=$\frac{1-t}{1+t}$，CQ=1-$\frac{1-t}{1+t}$=$\frac{2t}{1+t}$，
∴PQ=$\sqrt{C{P}^{2}+C{Q}^{2}}$=$\sqrt{（1-t）^{2}+（\frac{2t}{1+t}）^{2}}$=$\frac{1+{t}^{2}}{1+t}$，
∴l=CP+CQ+PQ=1-t+$\frac{2t}{1+t}$+$\frac{1+{t}^{2}}{1+t}$=1-t+1+t=2，是定值
（Ⅱ）S=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△ADQ=1×1-$\frac{1}{2}$×1×t-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1-t}{1+t}$，
=1-$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{2}$•$\frac{1-t}{1+t}$=1-$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{2}$（-1+$\frac{2}{1+t}$），
=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{t}{2}$-$\frac{1}{t+1}$，
=2-（$\frac{t+1}{2}$+$\frac{1}{t+1}$），
由于1+t＞0，
则S=2-（$\frac{t+1}{2}$+$\frac{1}{t+1}$）≤2-2$\sqrt{\frac{t+1}{2}•\frac{1}{t+1}}$=2-$\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{t+1}{2}$=$\frac{1}{t+1}$，即t=$\sqrt{2}$-1时等号成立，
故探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最多为2-$\sqrt{2}$平方百米．

点评 本题考查三角函数知识的运用，考查和角公式的运用，考查面积的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．