Question

在直角梯形P₁DCB中，P₁D//CB，CD//P₁D且P₁D = 6，BC = 3，DC =，A是P₁D的中点，沿AB把平面P₁AB折起到平面PAB的位置，使二面角P－CD－B成45°角，设E、F分别是线段AB、PD的中点．

   （1）求证：AF//平面PEC；

   （2）求平面PEC和平面PAD所成的二面角的大小；

   （3）求点D到平面PEC的距离．

Answer 1

（1）证明见解析（2）平面PEC和平面PAD所成二面角为30°（3）点D到平面PEC的距离为

解析:

①取PC中点M，连结FM、EM

//

  ∵  F、M分别为PD、PC中点

//

  ∴  FM＝CD

//

  ∵  E为AB中点，∴ AE＝CD

  ∴  FM＝AE，    ∴FMEA为平行四边形

  ∴  AF//EM

  ∵  AF平面PEC，EM平面PEC

  ∴  AF//平面PEC

②延长DA，CE交于点N，连结PN

  ∵  AB⊥PA，  AB⊥AD

  ∴  AB⊥平面PAD   ∵AB//DC

…6’

  ∴  DC⊥平面PAD   ∴DC⊥PD  DC⊥AD

  ∴  ∠PDA为二面角P－CD－B的平面角

  ∴  ∠PDA＝45°

  ∵  PA＝AD＝３  ∠PDA＝45°

  ∵  PD＝    ∴PA⊥AD

  又  PA⊥AB      ∴PA⊥平面ABCD

//

  ∵  AE//CD   且E为AB中点

  ∴  AE＝CD   ∴AE为△NDC的中位线

  ∴  AN＝AD＝PA  ∴△PND为Rt△

      又  NE＝EC＝  PE＝

      ∴  △PNC为Rt△

      ∴  PC⊥PN  PD⊥PN

      ∴  ∠CPD为平面PEC和平面PAD所成二面角的平面角

      又  PD＝     CD＝    PD⊥DC

      ∴  tan∠CPD＝＝＝

      ∴  ∠CPD＝30°

      ∴  平面PEC和平面PAD所成二面角为30°

    ③连结ED

      ∵  PA⊥平面ABCD

      ∴  V_P－CED＝S_△CED·PA＝＝

          V_P－CED＝V_D－PCE＝

      设点D到平面PCE的距离为d．

          S_△PCE＝

          V_P－PCE＝S_△DCE·d＝

      ∴  d＝

      点D到平面PEC的距离为．