【题目】(本题满分12分)已知函数f(x)=ex, g(x)=lnx.
(1)设f(x)在x1处的切线为l1, g(x)在x2处的切线为l2,若l1//l2,求x1+g(x2)的值;
(2)若方程af 2(x)-f(x)-x=0有两个实根,求实数a的取值范围;
(3)设h(x)=f(x)(g(x)-b),若h(x)在[ln2,ln3]内单调递减,求实数b的取值范围.
【答案】(1)0.
(2) 0<a<1.
(3) b≥ln2+.
【解析】分析:(1)求导,利用l1//l2时k值相等,即可求出答案;
(2)参变分离,利用导数的应用以及数形结合即可得到答案;
(3)由题意h(x)=f(x)(g(x)-b)=ex(lnx-b),求导,因为h(x)在[ln2,ln3]内单调递减,所以在[ln2,ln3]上恒成立,再参变分离,分析讨论即可.
详解:(1) f′(x)=ex, g′(x)=
由题意知:=
故x1+g(x2)=x1-ln=0.
(2) 方程af 2(x)-f(x)-x=0,ae2x-ex-x=0,a=
令φ(x)=, 则φ′(x)=-
当x<0时,ex<1,ex-1<0,所以ex+2x-1<0,所以φ′(x)>0,故φ(x)单调增;
当x>0时,ex>1,ex-1>0,所以ex+2x-1>0,所以φ′(x)<0,故φ(x)单调减.
从而φ(x)max=φ(0)=1
又,当x>0时,φ(x)=>0
原方程有两个实根等价于直线y=a与φ(x)的图像有两个交点,故0<a<1.
(3)由题意h(x)=f(x)(g(x)-b)=ex(lnx-b),得h′(x)=ex(lnx+-b)
因为h(x)在[ln2,ln3]内单调递减,所以h′(x)=ex(lnx+-b)≤0在[ln2,ln3]内恒成立
由于ex>0,故只需lnx+-b≤0在[ln2,ln3]内恒成立
即b≥lnx+在[ln2,ln3]内恒成立
令t(x)=lnx+, t′(x)=-=
当ln2≤x<1时,t′(x)<0,故t(x)单调减;
当1≤x≤ln3时,t′(x)>0,故t(x)单调增.
下面只要比较t(ln2)与t(ln3)的大小.
思路:[详细过程略]
先证明:x1+x2>2
又,ln2+ln3=ln6<2
故当x1=ln2时,ln3< x2
即t(ln3)<t(ln2)
所以t(x)max=t(ln2)=ln2+
所以b≥ln2+.
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【题目】设△AnBnCn的三边长分别为an , bn , cn , △AnBnCn的面积为Sn , n=1,2,3…若b1>c1 , b1+c1=2a1 , an+1=an , , ,则( )
A.{Sn}为递减数列
B.{Sn}为递增数列
C.{S2n﹣1}为递增数列,{S2n}为递减数列
D.{S2n﹣1}为递减数列,{S2n}为递增数列
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【题目】已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为万元,且.
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大?(注:年利润=年销售收入﹣年总成本)
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【题目】已知函数 的图象过点。
(1)求的值并求函数的值域;
(2)若关于的方程有实根,求实数的取值范围;
(3)若函数, ,则是否存在实数,使得函数的最大值为0?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。
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【题目】如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,点E是AB的中点.
(1)求证:OE∥平面BCC1B1.
(2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC.
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【题目】已知 ,若,且的图象相邻的对称轴间的距离不小于.
(1)求的取值范围.
(2)若当取最大值时, ,且在中, 分别是角的对边,其面积,求周长的最小值.
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【题目】若数列对任意满足,下面给出关于数列的四个命题:①可以是等差数列,②可以是等比数列;③可以既是等差又是等比数列;④可以既不是等差又不是等比数列;则上述命题中,正确的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】高三年级有500名学生,为了了解数学科的学习情况,现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩,制成如下频率分布表:
分组 | 频数 | 频率 |
12 | ||
4 | ||
合计 |
根据上面图表,求处的数值
在所给的坐标系中画出的频率分布直方图;
根据题中信息估计总体平均数,并估计总体落在中的概率.
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