Question

【题目】已知函数f（x）=|x|+|x+1|．
（1）若x∈R，恒有f（x）≥λ成立，求实数λ的取值范围；
（2）若m∈R，使得m2+2m+f（t）=0成立，试求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=|x|+|x+1|≥1．

∵x∈R，恒有f（x）≥λ成立，

∴λ≤1；

（2）解：由题意，f（t）= ，

m∈R，使得m2+2m+f（t）=0成立，

∴△=4﹣4f（t）≥0，

∴f（t）≤1，

t＜﹣1时，f（t）=﹣2t﹣1≤1，∴t≥﹣1，不合题意，舍去；

﹣1≤t≤0时，f（t）=1，此时f（t）≤1恒成立；

t＞0时，f（t）=2t+1≤1，∴t≤0，不合题意，舍去；

综上所述，t的取值范围为[﹣1，0]

【解析】（1）若x∈R，恒有f（x）≥λ成立，求出f（x）的最小值，即可求实数λ的取值范围；（2）m∈R，使得m2+2m+f（t）=0成立，f（t）≤1，再分类讨论，即可求实数t的取值范围．
【考点精析】利用绝对值不等式的解法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．