Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

3

，F1、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，过F₂的直线l与C相交于A、B两点，△F₁AB的周长为4

3

．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）由离心率为

3

3

得a=

3

c，由△F₁AB周长为4

3

可求得a值，进而求得b值；
（II）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），易判断直线存在斜率，设直线l的方程为：y=k（x-1），与椭圆联立方程组消y得x的二次方程，∵四边形0APB为平行四边形，∴

OP

=

OA

+

OB

，根据韦达定理可把P点坐标用k表示出来，再代入椭圆方程即可求得k值；

解答：解：（I）∵椭圆离心率为

3

3

，∴

c

a

=

3

3

，∴a=

3

c，
又△F₁AB周长为4

3

，∴4a=4

3

，解得a=

3

，∴c=1，b=

2

，
∴椭圆C的标准方程为：

x2

3

+

y2

2

=1；
（II）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
当斜率不存在时，这样的直线不满足题意，
∴设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x-1），
将直线l的方程代入椭圆方程，整理得：（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0，∴x₁+x₂=

6k2

2+3k2

，
故y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=

6k3

2+3k2

-2k=

-4k

2+3k2

，
∵四边形OAPB为平行四边形，∴

OP

=

OA

+

OB

，
从而x0=x1+x2=

6k2

2+3k2

，y0=y1+y2=

-4k

2+3k2

，
又P（x₀，y₀）在椭圆上，∴

( 6k2 2+3k2 )2

3

+

( -4k 2+3k2 )2

2

=1，
整理得：

36k4

3(2+3k2)2

+

16k2

2(2+3k2)2

=1，12k⁴+8k²=4+12k²+9k⁴，3k⁴-4k²-4=0，解得k=±

2

，
故所求直线l的方程为：y=±

2

（x-1）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆标准方程，考查方程思想，考查学生解决问题的能力．