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已知函数f(x)=3x+cos2x+sin2x,且a=f′(
π4
),f′(x)是f(x)的导函数,则过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程为
3x-y-2=0
3x-y-2=0
分析:根据f(x)的解析式求出f(x)的导函数,把x=
π
4
代入导函数即可求出a的值,然后由曲线的方程求出曲线的导函数,把x=1代入导函数即可求出切线的斜率,把x=1代入曲线方程中即可求出切点的纵坐标,进而得到切点的坐标,根据切点坐标和求出的斜率写出切线方程即可.
解答:解:由f(x)=3x+cos2x+sin2x,得到:f′(x)=3-2sin2x+2cos2x,
且由y=x3,得到y′=3x2
则a=f′(
π
4
)
=3-2sin
π
2
+2cos
π
2
=1,
把x=1代入y′=3x2中,解得切线斜率k=3,
且把x=1代入y=x3中,解得y=1,所以切点P的坐标为(1,1),
所以由点斜式得,曲线上过P的切线方程为:y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
故答案为:3x-y-2=0.
点评:此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会根据一点和斜率写出直线的方程,是一道中档题.
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+
1
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3-x
+
1
x+2
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