Question

若F₁、F₂分别是椭圆

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)在左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，且|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2

3

．
（1）求出这个椭圆的方程；
（2）是否存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，使∠AOB=90°（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2

3

，可得a=2，c=

3

，从而可求椭圆的方程；
（2）设方程为y=kx+2，与椭圆方程联立，利用韦达定理及

OA

•

OB

=0，即可求出直线l的斜率k．

解答：解：（1）依题意，∵|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2

3

∴2a=4，2c=2

3

，∴a=2，c=

3

，∴b=

a2-c2

=1
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）显然当直线的斜率不存在时，不满足题设条件，设方程为y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立方程组

x2 4 +y2=1 y=kx+2

，消元可得（1+4k²）x²+16kx+12=0
∴x₁+x₂=-

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

由△=256k²-4（1+4k²）×12＞0，可得k2＞

3

4

①
∵∠AOB=90°，∴

OA

•

OB

=0
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

4(4-k2)

1+4k2

 =0
∴k²=4②
由①②可得，k=±2

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是直线与椭圆的方程联立，利用韦达定理求解．