Question

已知函数f（x）=ax-21nx，a∈R
（Ⅰ）a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求f（x）单调区间
（Ⅲ）设g(x)=

a+2e

x

(a＞0)，若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意对函数求导，然后解f′（x）=0方程，得到x=2，将（0，+∞）分为二个区间，最后通过列表得出导数在这二个区间的符号，讨论出函数的单调性，即可得出函数的极值．
（II）先求导数fˊ（x），求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，从而的函数f（x）的单调区间以及函数的极值，fˊ（x）＞0的区间是增区间，fˊ（x）＜0的区间是减区间．
（III）本命题等价于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，设F（x）=f（x）-g（x）=ax-2lnx-

a+2e

x

，求导：
F'（x）=a-

2

x

+

a+2e

x2

=

ax2-2x+a+2e

x2

=

ax2+a+2(e-x)

x2

＞0，得出F（x）_max=F（e）．
依题意需F（e）＞0，从而求得a的取值范围．

解答：解：（I）f′(x)=1-

2

x

，x＞0．令f'（x）=0，得x=2
当x变化时，f'（x）与f（x）变化情况如下表：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

∴当x=2时，f（x）取得极小值f（2）=2-2ln2．
（Ⅱ）a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为减函数；a＞0时，f（x）在（0，

2

a

）上是减函数，
在（

2

a

，+∞）上是增函数．
（Ⅲ）本命题等价于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，设F（x）=f（x）-g（x）=ax-2lnx-

a+2e

x

，
F'（x）=a-

2

x

+

a+2e

x2

=

ax2-2x+a+2e

x2

=

ax2+a+2(e-x)

x2

＞0，
所以F（x）为增函数，F（x）_max=F（e）．
依题意需F（e）＞0，解得a＞

4e

e2-1

．所以a的取值范围是(

4e

e2-1

，+∞)．

点评：本题主要考查了函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．