Question

已知函数f(x)=

3

x2

．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求曲线y=f（x）在点x=1处的切线方程；
（3）求曲线y=f（x），y=|x|所围成的图形的面积S．

Answer 1

分析：（1）求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；
（2）确定确定坐标与切线的斜率，可得切线方程；
（3）确定积分区间与被积函数，即可求得曲线y=f（x），y=|x|所围成的图形的面积S．

解答：解：（1）∵f(x)=

3	x2

=x

2

3

，∴f′(x)=

2

3

x-

1

3

解f'（x）＞0得x＞0，解f'（x）＜0得x＜0，
∴f（x）的单调增区间是（0，+∞），单调减区间是（-∞，0）
（注：也可以写成闭区间[0，+∞）或（-∞，0]）…（4分）
（2）切点坐标是（1，1），且f′(1)=

2

3

，
∴y=f（x）在点x=1处的切线方程是y-1=

2

3

(x-1)
化简得2x-3y+1=0…（9分）
（3）解

3	x2

=|x|得x=±1，0
由f(x)=

3	x2

的图象特点得曲线y=f（x），y=|x|所围成的图形的面积是：
S=

∫

0 -1

(-x-x

2

3

)dx+

∫

1 0

(x

2

3

-x)dx=(-

x2

2

-

3

5

x

5

3

)

|

0 -1

+(

x2

2

+

3

5

x

5

3

)

|

1 0

=

11

5

．（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查切线方程，考查利用定积分求面积，综合性强，属于中档题．