Question

（2011•南通三模）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中．
（1）若BB₁=BC，B₁C⊥A₁B，证明：平面AB₁C⊥平面A₁BC₁；
（2）设D是BC的中点，E是A₁C₁上的一点，且A₁B∥平面B₁DE，求

A1E

EC1

的值．

Answer 1

分析：（1）通过证明B₁C⊥A₁B，B₁C⊥BC₁，A₁B∩BC₁=B，证明BC₁⊥平面A₁BC₁，然后证明平面AB₁C⊥平面A₁BC₁；
（2）设D是BC的中点，设B₁D交BC₁于点F，连接EF，则平面A₁BC₁∩平面B₁DE=EF．利用

A1E

EC1

=

BF

FC1

求出

A1E

EC1

的值．

解答：（本题满分14分）
解：（1）因为BB₁=BC，所以侧面BCC₁B₁是菱形，所以B₁C⊥BC₁．   …（3分）
又因为B₁C⊥A₁B，且A₁B∩BC₁=B，所以B₁C⊥平面A₁BC₁，…（5分）
又B₁C?平面AB₁C，所以平面AB₁C⊥平面A₁BC₁．…（7分）
（2）设B₁D交BC₁于点F，连接EF，则平面A₁BC₁∩平面B₁DE=EF．
因为A₁B∥平面B₁DE，A₁B?平面A₁BC₁，所以A₁B∥EF．    …（11分）
所以

A1E

EC1

=

BF

FC1

．
又因为

BF

FC1

=

BD

B1C1

=

1

2

，所以

A1E

EC1

=

1

2

．  …（14分）

点评：主要考查直线与平面的位置关系特别是平行与垂直的关系，考查空间想象能力、逻辑推理能力，考查画图、读图、用图的能力．