Question

已知函数f(x)=x-2a

x

在（0，1）上为减函数．
（1）讨论f（x）的单调性（指出单调区间）；
（2）当a＞0时，如果f（x）在（0，1）上为减函数，g（x）=x²-2alnx在（1，2）上是增函数，求实数a的值；
（3）当a=2时，若g(x)≥2bx-

1

x2

在x∈(0，1]内恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导数得：f′（x）=1-

a

x

，根据函数f(x)=x-2a

x

在（0，1）上为减函数．得出f′（x）=1-

a

x

≤0在（0，1）上恒成立，得到a的取值范围，再利用导数研究函数的单调性得出f（x）的单调区间；
（2）由（1）得a≥1，又g（x）=x²-2alnx在（1，2）上是增函数，利用导数研究函数的单调性得出a≤1，从而得出a的值；
（3）当a=2时，若g(x)≥2bx-

1

x2

在x∈(0，1]内恒成立，再分离出2b：2b≤x+

1

x3

-

lnx

x

，设h（x）=x+

1

x3

-

lnx

x

，它在（0，1）上是减函数，只须2b小于h（1）即可求出b的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f(x)=x-2a

x

，∴f′（x）=1-

a

x

，
∵函数f(x)=x-2a

x

在（0，1）上为减函数．
∴f′（x）=1-

a

x

≤0在（0，1）上恒成立，
∴a≥1．
f′（x）=1-

a

x

＞0得：x＞a²，
故f（x）的单调增区间为：（a²，+∞），减区间为（0，a²）
（2）由（1）得a≥1，
又g（x）=x²-2alnx在（1，2）上是增函数，
∴g′（x）=2x-

2a

x

≥0在（1，2）上恒成立，
⇒a≤x²，⇒a≤1，
∴a=1．
（3）当a=2时，若g(x)≥2bx-

1

x2

在x∈(0，1]内恒成立，
即：x²-4lnx≥2bx-

1

x 2

，
2b≤x+

1

x3

-

lnx

x

，设h（x）=x+

1

x3

-

lnx

x

，它在（0，1）上是减函数，
∴2b≤h（1）⇒2b≤2，⇒b≤1．
∴b的取值范围b≤1．

点评：本小题主要考查函数恒成立问题\函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．