Question

11．{a_n}的通项公式为a_n=-n+p，{b_n}的通项公式为${b_n}={2^{n-5}}$，设${c_n}=\left\{\begin{array}{l}{a_n}，{a_n}≤{b_n}\\{b_n}，{a_n}＞{b_n}\end{array}\right.$，若在数列{c_n}中，c₉＞c_n，n∈N^*，n≠9，则实数p的取值范围是17＜p＜26．

Answer 1

分析 当a_n≤b_n时，c_n=a_n，当a_n＞b_n时，c_n=b_n，可知：c_n是a_n，b_n中的较小者．因为a_n=-n+p，所以{a_n}是递减数列；因为b_n=2^n-5，所以{b_n}是递增数列，因为c₉＞c_n（n≠9），所以c₉是c_n的最大者，分类讨论即可得出．

解答 解：当a_n≤b_n时，c_n=a_n，当a_n＞b_n时，c_n=b_n，∴c_n是a_n，b_n中的较小者，
因为a_n=-n+p，所以{a_n}是递减数列；因为b_n=2^n-5，所以{b_n}是递增数列，
因为c₉＞c_n（n≠9），所以c₉是c_n的最大者，
则n=1，2，3，…7，8，9时，c_n递增，n=9，10，…时，c_n递减，
因此，n=1，2，3，…7，8时，2^n-5＜-n+p总成立，
当n=8时，2^8-5＜-8+p，∴p＞16，
n=9，10，11，…时，2^n-5＞-n+p总成立，
当n=10时，2^10-5＞-9+p，成立，∴p＜41，
而c₉=a₉或c₉=b₉，
若a₉≤b₉，即2^9-5≥p-9，所以p≤25，
则c₉=a₉=p-9，
∴p-9＞b₈=2^8-5，∴p＞17，
若a₉＞b₉，即p-9＞2^9-5，所以p＞25，
∴c₉=b₉=2⁴=16，
那么c₉＞c₁₀=a₁₀，即16＞p-10，
∴p＜26，
故17＜p＜26．
故答案为：17＜p＜26

点评 本题考查了数列的通项公式、数列的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．