Question

16．已知函数$y=\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}，x∈[1，2]$，对于满足1＜x₁＜x₂＜2的任意x₁，x₂，给出下列结论：
①f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁；            ②x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；
③（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0；      ④（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＞0
其中正确结论有②③（写上所有正确结论的序号）．

Answer 1

分析 可设$f（x）=\sqrt{1-（x-1）^{2}}$，对于①②可构造函数，然后求导数，根据导数符号判断函数的单调性，根据单调性便可判断x₁，x₂对应函数值的大小，从而判断结论①②的正误；而对于③④，可求导数f′（x），根据导数符号便可判断出f（x）在（1，2）上单调递减，从而判断出③④的正误．

解答 解：设$f（x）=\sqrt{1-（x-1）^{2}}$，①设y=f（x）-x，即y=$\sqrt{1-（x-1）^{2}}-x$，$y′=-\frac{x-1}{\sqrt{1-（x-1）^{2}}}$；
∵1＜x＜2；
∴y′＜0；
∴f（x）-x在（1，2）上单调递减；
∵1＜x₁＜x₂＜2；
∴f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂；
∴f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁；
∴该结论错误；
②设y=$\frac{x}{f（x）}$，即$y=\frac{x}{\sqrt{1-（x-1）^{2}}}，y′=\frac{\sqrt{1-（x-1）^{2}}+\frac{x-1}{\sqrt{1-（x-1）^{2}}}}{1-（x-1）^{2}}$；
∵1＜x＜2；
∴y′＞0；
∴$\frac{x}{f（x）}$在（1，2）上单调递增；
∵1＜x₁＜x₂＜2；
∴$\frac{{x}_{1}}{f（{x}_{1}）}＜\frac{{x}_{2}}{f（{x}_{2}）}$；
∴x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；
∴该结论正确；
③$f′（x）=-\frac{x-1}{\sqrt{1-（x-1）^{2}}}$；
1＜x＜2，∴f′（x）＜0；
∴f（x）在（1，2）上单调递减；
∵1＜x₁＜x₂＜2；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0；
∴该结论正确，结论④错误；
∴正确的结论为②③．
故答案为：②③．

点评 考查构造函数，根据函数单调性解决问题的方法，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及函数的单调性定义．