Question

若函数f（x）=asinωx+bcosωx（0＜ω＜5，ab≠0）的图象的一条对称轴方程是x=

π

4ω

，函数f^′（x）的图象的一个对称中心是（

π

8

，0），则f（x）的最小正周期是

π

．

Answer 1

分析：根据两角和与差的正弦公式整理函数，根据对称轴对应的函数值是正负

a2+b2

，代入数值两边平方，得到a=b，写出函数的导函数，根据导函数的对称中心，得到ω的值，求出最小正周期．

解答：解：∵函数f（x）=asinωx+bcosωx=

a2+b2

sin（ωx+φ）
图象的一条对称轴方程是x=

π

4ω

，
∴把

π

4ω

代入，得到

2

2

a+

2

2

b=±

a2+b2

两边平方得到a=b，
∴f（x）=asinωx+acosωx=

2

asin（ωx+

π

4

）
∵函数f^′（x）的图象的一个对称中心是（

π

8

，0），
∴f^′（x）=

2

aωcos（ωx+

π

4

）过（

π

8

，0），
∴

π

8

ω+

π

4

=kπ+

π

2

，
又∵0＜ω＜5，
∴k=0时，ω=2符合题意
∴函数的最小正周期是

2π

2

=π
故答案为：π

点评：本题主要考查了利用辅助角公式把函数化简为同一个角的三角函数，本题解题的关键是函数的导函数的一个对称中心，代入可以求出ω的值，根据对称轴可以求出a，b相等的条件，本题是一个中档题目．