Question

（2013•日照一模）给出下列四个命题：
①若x＞0，且x≠1则lgx+

1

lgx

≥2；
②设x，y∈R，命题“若xy=0，则x²+y²=0”的否命题是真命题；
③若函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=

1

2

x+2，则f（1）+f'（1）=3；
④已知抛物线y²=4px（p＞0）的焦点F与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点重合，点A是两曲线的交点，AF⊥x轴，则双曲线的离心率为

2

+1．
其中所有真命题的序号是

②③④

．

Answer 1

分析：①利用基本不等式成立的条件判断．②利用逆否命题的等价性去判断否命题．③利用导数的几何意义以及导数的运算判断．④利用抛物线和双曲线的性质去判断．

解答：解：①当0＜x＜1时，lgx＜0，不满足基本不等式的条件，所以①错误．
②因为逆命题和否命题互为等价命题，所以原命题的逆命题为“若x²+y²=0，则xy=0”，则逆命题正确，
所以否命题也正确，所以②正确．
③由y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=

1

2

x+2，所以得到f（1）=

1

2

+2=

5

2

，f′(1)=

1

2

，
所以f（1）+f'（1）=3，所以③正确．
④设双曲线的左焦点为F'，连接AF'
∵F是抛物线y²=4px的焦点，且AF⊥x轴，
∴设A（p，y₀），得y₀²=4p×p，得y₀=2p，A（p，2p），
因此，Rt△AFF'中，|AF|=|FF'|=2p，得|AF'|=2

2

p
∴双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦距2c=|FF'|=2p，实轴2a=|AF'|-|AF|=2p（

2

-1）
由此可得离心率为e=

c

a

=

2c

2a

=

2p

2p( 2 -1)

=

2

+1，所以④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题主要考查命题的真假判断，综合性较强涉及的知识点较多，要求熟练掌握相应的知识．