Question

【题目】已知长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4.现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A－BCD，如图所示.

(1)试问：在折叠的过程中，直线AB与CD能否垂直？若能，求出相应a的值；若不能，请说明理由；

(2)求四面体A－BCD体积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】
试题分析：（1）假设，又，则平面，得到，解得；（2）易知，翻折到平面平面时，体积最大，则底面为，高为，求得最大体积为。

(1)直线AB与CD能够垂直.

因为AB⊥AD，若AB⊥CD，AD∩CD＝D，

则有AB⊥平面ACD，

从而AB⊥AC.

此时，a＝＝＝，

即当a＝时，有AB⊥CD.

(2)由于△BCD面积为定值，所以当点A到平面BCD的距离最大，即当平面ABD⊥平面BCD时，该四面体的体积最大，

此时，过点A在平面ABD内作AH⊥BD，垂足为H，

则有AH⊥平面BCD，AH就是该四面体的高.

在△ABD中，AH＝＝，

S△BCD＝×3×4＝6，

此时VA－BCD＝S△BCD·AH＝，即为该四面体体积的最大值.