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已知函数f(x)=
x2+ax+b
x
(x≠0)是奇函数,且f(1)=f(4)
(Ⅰ)求实数a、b的值;
(Ⅱ)试证明函数f(x)在区间(0,2]单调递减,在区间(2,+∞)单调递增.
考点:函数的单调性及单调区间,函数奇偶性的性质
专题:函数的性质及应用
分析:(Ⅰ)根据条件建立方程关系即可求实数a、b的值;
(Ⅱ)根据函数单调性的定义即可得到结论.
解答: 解:(Ⅰ)∵函数f(x)=
x2+ax+b
x
(x≠0)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
x2-ax+b
-x
=-
x2+ax+b
x

即-ax=ax,解得a=0,
此时f(x)=
x2+b
x
=x+
b
x

∵f(1)=f(4)
∴1+b=4+
b
4

3b
4
=3
,解得b=4.
故实数a=0,b=4;
(Ⅱ)∵a=0,b=4,∴f(x)=x+
4
x

设x1<x2
则f(x1)-f(x2)=x1+
4
x1
-x2-
4
x2
=(x1-x2)+(
4
x1
-
4
x2
)=(x1-x2)•
x1x2-4
x1x2

∵x1<x2,∴x1-x2<0,
①若0<x1<x2≤2,则x1x2<4,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),此时函数单调递减.
②若2<x1<x2,则x1x2>4,则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),此时函数单调递增.
点评:本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断,根据函数奇偶性和单调性的定义和性质是解决本题的关键.
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3
2
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3
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单位
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单位
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单位

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