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19.已知点A(2,2)及圆C:x2+y2+4x-8y+4=0.
(Ⅰ)若直线l过点A且被圆C截得的线段长为4$\sqrt{3}$,求直线l的方程;
(Ⅱ)由圆C外一点P(a,b)向圆C引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PA|,求线段PQ长的最小值.

分析 (Ⅰ)若直线l过点A且被圆C截得的线段长为4$\sqrt{3}$,直线l与圆心的距离为2,利用点到直线的距离公式求出k,即可求直线l的方程;
(Ⅱ)求出P的坐标之间的关系,表示出线段PQ长,利用配方法可求PQ的最小值.

解答 解:(Ⅰ)圆C:x2+y2+4x-8y+4=0可化为(x+2)2+(y-4)2=16,圆心坐标为(-2,4),半径为4
∵直线ι被圆C截得的线段长为4$\sqrt{3}$,∴直线l与圆心的距离为2,
直线斜率存在,设l的斜率是k,设直线l:y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0;
∵直线l与圆C的圆心相距为2,∴d=$\frac{|-2k-4-2k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2,解得k=0或-$\frac{4}{3}$,
此时直线的方程为y=2或4x+3y-14=0;
(Ⅱ)连结CP,∵Q为切点,∴PQ⊥CQ,
由勾股定理有:|PQ|2=|CP|2-|CQ|2
又由已知|PQ|=|PA|,故|PQ|2=|PA|2
即:(a+2)2+(b-4)2-42=(a-2)2+(b-2)2
化简得实数a、b间满足的等量关系为:2a-b-1=0,即b=2a-1.
∴|PQ|=$\sqrt{(a-2)^{2}+(b-2)^{2}}$=$\sqrt{5(a-\frac{8}{5})^{2}+\frac{1}{5}}$,
故当a=$\frac{1}{5}$时,线段PQ长的最小值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$.

点评 本题考查直线方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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