分析 (Ⅰ)若直线l过点A且被圆C截得的线段长为4$\sqrt{3}$,直线l与圆心的距离为2,利用点到直线的距离公式求出k,即可求直线l的方程;
(Ⅱ)求出P的坐标之间的关系,表示出线段PQ长,利用配方法可求PQ的最小值.
解答 解:(Ⅰ)圆C:x2+y2+4x-8y+4=0可化为(x+2)2+(y-4)2=16,圆心坐标为(-2,4),半径为4
∵直线ι被圆C截得的线段长为4$\sqrt{3}$,∴直线l与圆心的距离为2,
直线斜率存在,设l的斜率是k,设直线l:y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0;
∵直线l与圆C的圆心相距为2,∴d=$\frac{|-2k-4-2k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2,解得k=0或-$\frac{4}{3}$,
此时直线的方程为y=2或4x+3y-14=0;
(Ⅱ)连结CP,∵Q为切点,∴PQ⊥CQ,
由勾股定理有:|PQ|2=|CP|2-|CQ|2.
又由已知|PQ|=|PA|,故|PQ|2=|PA|2.
即:(a+2)2+(b-4)2-42=(a-2)2+(b-2)2,
化简得实数a、b间满足的等量关系为:2a-b-1=0,即b=2a-1.
∴|PQ|=$\sqrt{(a-2)^{2}+(b-2)^{2}}$=$\sqrt{5(a-\frac{8}{5})^{2}+\frac{1}{5}}$,
故当a=$\frac{1}{5}$时,线段PQ长的最小值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$.
点评 本题考查直线方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{2}{3}$ | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | $\frac{4}{5}$ |
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A. | (n-2)•2n | B. | 1-$\frac{1}{{2}^{n}}$ | C. | $\frac{2}{3}$(1-$\frac{1}{{4}^{n}}$) | D. | $\frac{2}{3}$(1-$\frac{1}{{2}^{n}}$) |
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A. | [$\frac{π}{8}$+2kπ,$\frac{5π}{8}$+2kπ](k∈Z) | B. | [$\frac{π}{8}$+kπ,$\frac{5π}{8}$+kπ](k∈Z) | ||
C. | [-$\frac{3π}{8}$+2kπ,$\frac{π}{8}$+2kπ](k∈Z) | D. | [-$\frac{3π}{8}$+kπ,$\frac{π}{8}$+kπ](k∈Z) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\sqrt{2}$ | B. | $\sqrt{3}$ | C. | 2$\sqrt{2}$ | D. | 2$\sqrt{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (2,-4,2) | B. | (-2,4,-2) | C. | (-2,0,-2) | D. | (2,1,-3) |
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