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(本小题满分12分)某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中,上学所需时间的范围是,样本数据分组为.
(Ⅰ)求直方图中的值;
(Ⅱ)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,
请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿;
(Ⅲ)从学校的新生中任选4名学生,这4名学生中上学所需时间
少于20分钟的人数记为,求的分布列和数学期望.(以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率)
(Ⅰ). (Ⅱ)以600名新生中有72名学生可以申请住宿.
(Ⅲ)的分布列为:

0
1
2
3
4






.(或
所以的数学期望为1.
本试题主要是考查了直方图的运用,求解频率和古典概型概率的计算、分布列和期望值的综合运用。
(1)由直方图可得:.
所以 .
(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为:,  …4分
因为,所以600名新生中有72名学生可以申请住宿
(3)因为由直方图可知,每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为
和随机变量的各个取值,得到分布列和期望值。
解:(Ⅰ)由直方图可得:.
所以 .                    ………………………………………2分
(Ⅱ)新生上学所需时间不少于1小时的频率为:,  …4分
因为,所以600名新生中有72名学生可以申请住宿. …5分
(Ⅲ)的可能取值为0,1,2,3,4.        ………………………………………6分
由直方图可知,每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为
,       ,
,,
.  ………………………10分
所以的分布列为:

0
1
2
3
4






.(或
所以的数学期望为1.                 ………………………………………12分
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0
1
2
3

0.1


0.1

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