Question

已知直线l₁：2x-y+6=0与y轴交于C点，直线l₂与x轴交于点A（8，0），l₁与l₂交于B点，O为坐标原点，若A、B、C、O四点共圆，则直线l₂的方程为

x+2y-8=0

，圆的方程为

（x-4）²+（y-3）²=25

．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，如图所示，由A、B、C、O四点共圆，可得对角互补，再根据x轴与y轴垂直，得到∠AOC为直角，进而确定出∠ABC为直角，即两直线垂直，由直线l₁的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1，求出直线l₂斜率，再由直线l₂过A点，由A的坐标和求出的斜率，写出直线l₂的方程即可；同时根据90°的圆周角所对的弦为直径可得AC为四点确定圆的直径，由A和C的坐标，利用线段中点坐标公式求出AC的中点D的坐标，即为圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出|AC|的长，即为圆的直径，求出圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．

解答：解：根据题意画出图形，如图所示：
∵A、B、C、O四点共圆，
∴∠COA+∠ABC=180°，又∠COA=90°，
∴∠ABC=90°，即l₁⊥l₂，
∵直线l₁的斜率为2，∴直线l₂的斜率为-

1

2

，
又直线l₂与x轴交于点A（8，0），
∴直线l₂的方程为：y=-

1

2

（x-8），即x+2y-8=0，
又∠AOC为弦AC所对的圆周角，且∠AOC=90°，
∴AC为圆的直径，设D为AC的中点，即为圆心，
∵C（0，6），A（8，0），
∴点D坐标为（

0+8

2

，

6+0

2

），即（4，3），
又|AC|=

(0-8)2+(6-0)2

=10，
∴圆的半径为5，
则所求圆的方程为（x-4）²+（y-3）²=25．
故答案为：x+2y-8=0；（x-4）²+（y-3）²=25

点评：此题考查了圆的标准方程，直线的一般式方程，以及两直线的交点坐标，涉及的知识有：圆内接四边形的性质，圆周角定理，两直线垂直斜率满足的关系，线段中点坐标公式，以及两点间的距离公式，利用了数形结合的思想，其中根据圆内接四边形的性质得到两直线垂直是解本题的关键．