Question

设数列{a_n}的前n项和为s_n，点（n，

sn

n

）（n∈N^*）均在函数y=x+1的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若{b_n}为正项等比数列，且b₁=1，b₁b₂b₃=8，求{b_n}的通项公式和前n项和G_n；
（3）求{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，

Sn

n

）（n∈N^*）均在函数y=x+1的图象上，知

Sn

n

=n+1，Sn=n2+n，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b1b2b3=b23=8，知b₂=2，由b₁=1，知q=2，从而能求出{b_n}的通项公式和前n项和G_n．
（3）由a_n=2n，bn=2n-1，知a_n•b_n=2n•2^n-1=n•2ⁿ，由此能求出{a_n•b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，
点（n，

Sn

n

）（n∈N^*）均在函数y=x+1的图象上，
∴

Sn

n

=n+1，Sn=n2+n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+n）-[（n-1）²+（n-1）]=2n，
当n=1时，a₁=S₁=2，
∴a_n=2n．
（2）∵b1b2b3=b23=8，
∴b₂=2，
∵b₁=1，∴q=

b2

b1

=2，
∴bn=b1qn-1=2^n-1，
∴G_n=

b1(1-qn)

1-q

=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．
（3）∵a_n=2n，bn=2n-1，
∴a_n•b_n=2n•2^n-1=n•2ⁿ，
T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，①
∴2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=2¹+2²+2³+2⁴+…+2^n-1+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹，
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．