【题目】如图,在四棱锥中,
底面
,底面
为梯形,
,
,且
.
(Ⅰ)若点为
上一点且
,证明:
平面
;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点
,使得
?若存在,求出
的长;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)要证线面平行,就要证线线平行,由线面平行的性质定理知平行线是过的平面
与平面
的交线,由已知过点
作
,交
于
,连接
,
就是要找的平行线;(Ⅱ)求二面角,由于图中已知
两两垂直,因此以它们为坐标轴建立空间直角坐标系,可用向量法求得二面角,只要求得两个面的法向量,由法向量的夹角与二面角相等或互补可得(需确定二面角是锐二面角还是钝二面角);(3)有了第(2)小题的空间直角坐标系,因此解决此题时,假设存在点
,设
,由
求得
即可.
试题解析:(Ⅰ)过点作
,交
于
,连接
,
因为,所以
.
又,
,所以
.
所以为平行四边形, 所以
.
又平面
,
平面
,(一个都没写的,则这1分不给)
所以平面
.
(Ⅱ)因为梯形中,
,
,所以
.
因为平面
,所以
,
如图,以为原点,
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,
所以.
设平面的一个法向量为
,平面
的一个法向量为
,
因为
所以,即
,
取得到
,
同理可得,
所以,
因为二面角为锐角,
所以二面角为
.
(Ⅲ)假设存在点,设
,
所以,
所以,解得
,
所以存在点,且
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(某保险公司有一款保险产品的历史户获益率(获益率=获益÷保费收入)的频率分布直方图如图所示:
(Ⅰ)试估计平均收益率;
(Ⅱ)根据经验若每份保单的保费在元的基础上每增加
元,对应的销量
(万份)与
(元)有较强线性相关关系,从历史销售记录中抽样得到如下
组
与
的对应数据:
| |||||
销量 |
(ⅰ)根据数据计算出销量(万份)与
(元)的回归方程为
;
(ⅱ)若把回归方程当作
与
的线性关系,用(Ⅰ)中求出的平均获益率估计此产品的获益率,每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大获益,并求出该最大获益.
参考公示:
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA面ABCD,且AB=2,AD=4,
AP=4,F是线段BC的中点.
⑴ 求证:面PAF面PDF;
⑵ 若E是线段AB的中点,在线段AP上是否存在一点G,使得EG面PDF?若存在,求出线段AG的长度;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知为坐标原点,抛物线
在第一象限内的点
到焦点的距离为
,曲线
在点
处的切线交
轴于点
,直线
经过点
且垂直于
轴.
(Ⅰ)求线段的长;
(Ⅱ)设不经过点和
的动直线
交曲线
于点
和
,交
于点
,若直线
的斜率依次成等差数列,试问:
是否过定点?请说明理由.
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【题目】已知椭圆E的中心在原点,焦点在x轴,焦距为2,且长轴长是短轴长的倍.
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)设P(2,0),过椭圆E左焦点F的直线l交E于A、B两点,若对满足条件的任意直线l,不等式 ≤λ(λ∈R)恒成立,求λ的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】唐三彩,中国古代陶瓷烧制工艺的珍品,它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点,在中国文化中占有重要的历史地位,在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史,制作工艺十分复杂,它的制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立。某陶瓷厂准备仿制甲、乙、丙三件不同的唐三彩工艺品,根据该厂全面治污后的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为,
,
,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为
,
,
.
(1)求第一次烧制后甲、乙、丙三件中恰有一件工艺品合格的概率;
(2)经过前后两次烧制后,甲、乙、丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为,求随机变量
的数学期望.
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