Question

【题目】在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2 ，M为AB的中点．

（1）求证：AC⊥SB；
（2）求二面角S﹣CM﹣A的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AC的中点O，连结OS、OB，

∵SA=SC，∴AC⊥OS，

∵BA=BC，∴AC⊥OB，

又OS，OB平面OSB，OS∩OB=O，

∴AC⊥平面OSB，

∴AC⊥SB

（2）解：∵平面SAC⊥平面ABC，SO⊥AC，

∴由面面垂直性质定理，得SO⊥面ABC，

过O作OD⊥CM于D，连结SD，

由三垂线定理，得SD⊥CM，

∴∠SDO是二面角N﹣CM﹣B的平面角，

又SO=2 ，OD=1，∴SD= =3，

∴cos∠SDO= ，

∴二面角S﹣CM﹣A的平面角的余弦值为

【解析】（1）取AC的中点O，连结OS、OB，由已知推导出AC⊥OS，AC⊥OB，由此能证明AC⊥SB．（2）平面SAC⊥平面ABC，SO⊥AC，从而SO⊥面ABC，过O作OD⊥CM于D，连结SD，则∠SDO是二面角N﹣CM﹣B的平面角，由此能求出二面角S﹣CM﹣A的平面角的余弦值．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的性质，需要了解垂直于同一个平面的两条直线平行才能得出正确答案．