Question

命题p：函数f（x）=x³+ax²+ax-a既有极大值又有极小值；命题q：直线3x+4y-2=0与圆（x-a）²+y²=1有公共点．若命题“p或q”为真，且命题“p且q”为假，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：首先考虑p，q为真时的等价结论：函数f（x）=x³+ax²+ax-a既有极大值又有极小值说明导函数图象与x轴有两个不同的交点，即判别式＞0；又直线3x+4y-2=0与圆（x-a）²+y²=1有公共点等价于圆心到直线的距离不大于半径．再由命题“p或q”为真，得到p，q中至少有一个真，命题“p且q”为假得到p，q中至少有一个假，所以p，q一真一假，从而得到a的不等式组，解出即可．

解答：解：∵f（x）=x³+ax²+ax-a∴f'（x）=3x²+2ax+a
若p真则函数f（x）=x³+ax²+ax-a既有极大值又有极小值
∴△=（2a）²-4×3×a＞0
∴a＞3或a＜0--------4分
若q真则直线3x+4y-2=0与圆（x-a）²+y²=1有公共点
等价于圆心（a，0）到直线的距离不大于1，即

|3a+4×0-2|

32+42

≤1⇒|3a-2|≤5⇒-1≤a≤

7

3

------8分
由命题“p或q”为真，得到p，q中至少有一个真；
命题“p且q”为假，得到p，q中至少有一个假，
所以p，q一真一假．
若p真q假时，则有

a＞3或a＜0 a＞ 7 3 或a＜-1

⇒a＞3或a＜-1；
若p假q真时，则有

0≤a≤3 -1≤a≤ 7 3

⇒0≤a≤

7

3

综上a＞3或a＜-1或0≤a≤

7

3

------12分
故实数a的取值范围是a＞3或a＜-1或0≤a≤

7

3

．

点评：本题主要考查复合函数的真假以及函数在某点取得极值的条件和直线与圆的位置关系的判断，应结合几何图形应用圆心到直线的距离和半径的大小关系，考查解不等式的运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．