Question

已知圆C的方程为：x²+y²=4．
（1）求过点P（1，2）且与圆C相切的直线l的方程；
（2）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2

3

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设出切线方程，利用点到直线的距离等于半径，求出k，即可求出过点P（1，2）且与圆C相切的直线l的方程；
（2）通过弦长|AB|=2

3

，半径与弦心距满足勾股定理，求出直线的斜率，然后求直线l的方程．

解答：解　（1）显然直线l的斜率存在，设切线方程为y-2=k（x-1），…（1分）
则 

|2-k|

k2+1

=2   …（2分）       
 解得，k₁=0，k₂=-

4

3

，…（3分）
故所求的切线方程为y=2或4x+3y-10=0．…（5分）
（2）当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，
l与圆的两个交点坐标为（1，

3

）和（1，-

3

），
这两点的距离为2

3

，满足题意；…（7分）
当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y-2=k（x-1），…（8分）
即kx-y-k+2=0，
设圆心到此直线的距离为d，则2

3

=2

4-d2

，∴d=1，…（9分）
∴1=

|-k+2|

k2+1

，∴k=

3

4

，…（10分）
此时直线方程为3x-4y+5=0，…（11分）
综上所述，所求直线方程为3x-4y+5=0或x=1．…（12分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程的求法，考查计算能力，注意直线的斜率不存在的情况．