Question

已知f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x
（1）求f（x）；    
（2）若y=f（x）-kx在[2，4]单调，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1求得c的值，再由f（x+1）-f（x）=2x求得a、b的值，从而求得f（x）的解析式．
（2）由于y=x²-（k+1）x+1 在[2，4]单调，可得

k+1

2

≤2，或

k+1

2

≥4，解不等式求得k的取值范围．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1求得c=1，故f（x）=ax²+bx+1．
再由f（x+1）-f（x）=2x可得 a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2ax+a+b=2x，
故有 2a=2，且a+b=0，
∴a=1，b=-1，f（x）=x²-x+1．
（2）由于y=f（x）-kx=x²-（k+1）x+1 在[2，4]单调，
∴

k+1

2

≤2，或

k+1

2

≥4．
解得 k≤3，或k≥7，
故k的取值范围为{k|k≤3，或k≥7}．

点评：本题主要考查利用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质应用，属于基础题．