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已知直线y=-x+1与椭圆数学公式相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线l:x-2y=0上.
(Ⅰ)求此椭圆的离心率;
(Ⅱ)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上,求此椭圆的方程.

解:(Ⅰ)设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
则由得:(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,
由根与系数的关系,得
且判别式△=4a2b2(a2+b2-1)>0,即a2+b2-1>0(*);
∴线段AB的中点坐标为().
由已知得
∴a2=2b2=2(a2-c2),∴a2=2c2;故椭圆的离心率为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知b=c,从而椭圆的右焦点坐标为F(b,0),
设F(b,0)关于直线l:x-2y=0的对称点为(x0,y0),

解得
由已知得 x02+y02=4,∴
∴b2=4,代入(Ⅰ)中(*)满足条件
故所求的椭圆方程为
分析:(Ⅰ)设出A、B两点的坐标,由方程组得关于x的一元二次方程;由根与系数的关系,可得x1+x2,y1+y2;从而得线段AB的中点坐标,代入直线l的方程x-2y=0,得出a、c的关系,从而求得椭圆的离心率.
(Ⅱ)设椭圆的右焦点坐标为F(b,0),F关于直线l:x-2y=0的对称点为(x0,y0),则由互为对称点的连线被对称轴垂直平分,可得方程组,解得x0、y0;代入圆的方程 x02+y02=4,得出b的值,从而得椭圆的方程.
点评:本题考查了直线与椭圆的综合应用问题,也考查了一定的逻辑思维能力和计算能力;解题时应细心解答.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线y=-x+1与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)相交于A、B两点.
(1)若椭圆的离心率为
3
3
,焦距为2,求椭圆的标准方程;
(2)若OA⊥OB(其中O为坐标原点),当椭圆的离率e∈[
1
2
2
2
]
时,求椭圆的长轴长的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线y=x-1与双曲线交于两点M,N 线段MN的中点横坐标为-
2
3
双曲线焦点c为
7
,则双曲线方程为
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线y=-x+1与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)相交于A、B两点.
(1)若椭圆的离心率为
3
3
,焦距为2,求椭圆方程;
(2)在(1)的条件下,求线段AB的长;
(3)若椭圆的离心率e∈(
2
2
,1)
,向量
OA
与向量
OB
互相垂直(其中O为坐标原点),求椭圆的长轴的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线y-x=1与曲线y=ex(其中e为自然数2.71828…)相切于点p,则点p的点坐标为
(0,1)
(0,1)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线y=-x+1与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
相交于A、B两点.
(1)若椭圆的离心率为
3
3
,焦距为2,求线段AB的长;
(2)(文科做)若线段OA与线段OB互相垂直(其中O为坐标原点),求
1
a2
+
1
b2
的值;
(3)(理科做)若线段OA与线段OB互相垂直(其中O为坐标原点),当椭圆的离心率e∈[
1
2
2
2
]
时,求椭圆的长轴长的最大值.

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