解:(Ⅰ)设A、B两点的坐标分别为A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),
则由
得:(a
2+b
2)x
2-2a
2x+a
2-a
2b
2=0,
由根与系数的关系,得
,
且判别式△=4a
2b
2(a
2+b
2-1)>0,即a
2+b
2-1>0(*);
∴线段AB的中点坐标为(
).
由已知得
,
∴a
2=2b
2=2(a
2-c
2),∴a
2=2c
2;故椭圆的离心率为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知b=c,从而椭圆的右焦点坐标为F(b,0),
设F(b,0)关于直线l:x-2y=0的对称点为(x
0,y
0),
则
且
,
解得
.
由已知得 x
02+y
02=4,∴
,
∴b
2=4,代入(Ⅰ)中(*)满足条件
故所求的椭圆方程为
.
分析:(Ⅰ)设出A、B两点的坐标,由方程组
得关于x的一元二次方程;由根与系数的关系,可得x
1+x
2,y
1+y
2;从而得线段AB的中点坐标,代入直线l的方程x-2y=0,得出a、c的关系,从而求得椭圆的离心率.
(Ⅱ)设椭圆的右焦点坐标为F(b,0),F关于直线l:x-2y=0的对称点为(x
0,y
0),则由互为对称点的连线被对称轴垂直平分,可得方程组
,解得x
0、y
0;代入圆的方程 x
02+y
02=4,得出b的值,从而得椭圆的方程.
点评:本题考查了直线与椭圆的综合应用问题,也考查了一定的逻辑思维能力和计算能力;解题时应细心解答.