Question

如图，正四棱锥中P-ABCD，点E，F分别在棱PA，BC上，且AE=2PE，
（1）问点F在何处时，EF⊥AD？
（2）当EF⊥AD且正三角形PAB的边长为a时，求点F到平面PAB的距离；
（3）在第（2）条件下，求二面角C-PA-B的大小．

Answer 1

分析：本题利用空间直角坐标系，求出相关向量，利用数量积和距离公式解答．
（1）先作PO⊥平面ABCD，依题意O是正方形ABCD的中心，如图建立空间坐标系．
设AB=a，PO=b，写出点的坐标：E(

2

6

a，0，

2

3

b)，F(m，

2

2

a+m，0)，利用向量的数量积即可证得EF⊥AD；
（2）设点F到平面PAB的距离为d．先求得面PAB的法向量，再结合向量的数量积即可求出点F到平面PAB的距离；
（3）设二面角C-AP-B的平面角为θ，先求出平面PAB的法向量为

n

=(1，1，1)和平面PAC的法向量，最后利用夹角公式即可求得二面角C-PA-B的大小．

解答：解：（1）作PO⊥平面ABCD，依题意O是正方形ABCD的中心，如图建立空间坐标系．
设AB=a，PO=b，E(

2

6

a，0，

2

3

b)，F(m，

2

2

a+m，0)．（2分）

AD

=(-

2

2

a，-

2

2

a，0)，

EF

=(m-

2

6

a，

2

2

a+m，-

2

3

b).

AD

•

EF

=0?m-

2

6

a+

2

2

a+m=0?m=-

2

6

a．
∴当F为BC的三等分点（靠近B）时，有EF⊥AD..（4分）
（2）设点F到平面PAB的距离为d.P(0，0，

2

2

a)，A(

2

2

a，0，0)，F(-

2

6

a，

2

3

a，0)

FB

=(

2

6

a，

2

6

a，0)

PA

=(

2

2

a，0，-

2

2

a)，

AB

=(-

2

2

a，

2

2

a，0)，设面PAB的法向量为

n

=(x，y，z)
∴

2 2 ax- 2 2 az=0 - 2 2 ax+ 2 2 ay=0

?

n

=(1，1，1)，（6分）
∴d=

n • FB

| n|

=

2 3 a

3

=

6

9

a．（8分）
（3）设二面角C-AP-B的平面角为θ，平面PAB的法向量为

n

=(1，1，1)．
设平面PAC的法向量为

n2

=(x，y，z)，∴

n1

=

OB

=(0，

2

2

a，0)．（10分）
∴cosθ=

n • n1

| n || n1 |

=

2 2 a

3 × 2 2 a

=

3

3

．∴θ=arccos

3

3

．（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直，二面角，点的平面的距离，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．