Question

数列{a_n）是首项为3公差不为0的等差数列，a₁、a₄、a₁₃顺次为等比数列{b_n}中相邻的三项．
（I）求数列{a_n）的通项公式及数列{b_n}的公比；
（II）设S_n是数列{a_n}的前n项和，求使

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜λ恒成立的λ的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用等差数列和等比数列的定义及其通项公式即可得出；
（II）使

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜λ恒成立?(

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

)max＜λ．由（I）可得Sn=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2）．利用“裂项求和”即可得出．

解答：解：（I）设数列{a_n}的公差为d，
∵a₁、a₄、a₁₃顺次为等比数列{b_n}中相邻的三项，∴

a

2 4

=a1a13．
即（3+3d）²=3•（3+12d），又d≠0，解得d=2．
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1．
又

a4

a1

=

2×4+1

3

=3，∴数列{b_n}的公比为3；
（II）由（I）可得Sn=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2）．
∴

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．
∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

(

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

．
使

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜λ恒成立?(

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

)max＜λ，
∴λ≥

3

4

．
因此使

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜λ恒成立的λ的取值范围是[

3

4

，+∞)．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的定义及其通项公式、恒成立问题的等价转化、“裂项求和”等基础知识与基本方法，属于难题．