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9.已知数列{an}的前项n和为Sn,满足Sn=n2+3n+2(n∈N+
(1)求an;   
(2)求$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}$的值.

分析 (1)当n≥2时,利用an=Sn-Sn-1计算,进而可得结论;
(2)通过(1)利用等差数列的求和公式,裂项可知$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{{({n+1})({n+2})}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$,进而并项相加即得结论.

解答 解:(1)当n=1时,a1=S1=6,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+4,
∴${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{6,n=1}\\{2n+4,n≥2}\end{array}}\right.$,即an=2n+4;
(2)由(1)可知$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{{({n+1})({n+2})}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$,
$\begin{array}{l}∴\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}=({\frac{1}{2}-\frac{1}{3}})+({\frac{1}{3}-\frac{1}{4}})+…({\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}})\\=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{{2({n+2})}}\end{array}$

点评 本题考查数列的通项及前n项和,利用裂项相消法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.

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