Question

已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω是正整数，0≤ϕ≤π）是R上的偶函数，其图象过点M（

3π

4

，0），且在区间[0，

π

2

]上是单调函数．
（1）求φ与ω的值；
（2）设a＜

π

2

＜b，若f（x）在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，且M-m=

1

2

，求a，b所要满足的条件．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由已知先求φ的值，由f（x）图象过点M（

3π

4

，0），又f（x）在[0，

π

2

]上是单调函数，可求得ω的值；
（2）由题意可得f（x）在[a，b]上可求得必有最小值m=-1，故最大值M=-

1

2

，即可解得a，b所要满足的条件．

解答： 解：（1）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω是正整数，0≤ϕ≤π）是R上的偶函数，得φ=

π

2

…（2分）
f（x）图象过点M（

3π

4

，0）得：ω•

3π

4

+

π

2

=kπ，k∈Z，得：ω=

4k

3

-

2

3

，k∈Z…（4分）
又f（x）在区间[0，

π

2

]上是单调函数．ω是正整数，只有k取2，此时ω=2…（6分）
所以f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x．
（2）由题意可得f（x）在区间[a，b]上必有最小值m=-1，故最大值M=-

1

2

…（8分）
于是得a，b所要满足的条件是：

b= 2π 3 π 3 ≤a＜ π 2

或

a= π 3 π 2 ＜b＜ 2π 3

…（12分）

点评：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，三角函数解析式的求法，属于基础题．